Câu hỏi
Cho\(\Delta ABC,\) gọi \({A_1},{C_1},{B_1}\) các điểm định bởi:
\(2\overrightarrow {{A_1}B} + 3\overrightarrow {{A_1}C} = \vec 0\) , \(2\overrightarrow{{{B}_{1}}C}+3\overrightarrow{{{B}_{1}}A}=\vec{0},\) \(2\overrightarrow {{C_1}A} + 3\overrightarrow {{C_1}B} = \vec 0\)
Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) và \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) có cùng trọng tâm.
Lời giải chi tiết:
Gọi \({G_1}\) là trọng tâm của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1};\,\,\,G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)
Ta chứng minh: \(G\equiv {{G}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{G{{G}_{1}}}=\vec{0}\)
Ta có: \(2\overrightarrow {{A_1}B} + 3\overrightarrow {{A_1}C} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {{A_1}G} + \overrightarrow {GB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {{A_1}G} + \overrightarrow {GC} } \right) = \vec 0\)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} = 5\overrightarrow {G{A_1}} \)
Tương tự ta có: \(2\overrightarrow{GC}+3\overrightarrow{GA}=5\overrightarrow{G{{B}_{1}}}~;\,\,\,2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=5\overrightarrow{G{{C}_{1}}}.\)
Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế ta có:
\(\begin{array}{l}5\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {G{C_1}} + \overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} } \right)\\\vec 0 = \overrightarrow {G{C_1}} + \overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} \\ \Rightarrow \vec 0 = \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{C_1}} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{A_1}} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{B_1}} \\ \Leftrightarrow \vec 0 = 3\overrightarrow {G{G_1}} \Rightarrow G \equiv {G_1}.\end{array}\)
Vậy \(\Delta ABC,\,\,\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) có cùng trọng tâm.
Câu hỏi trước
