Câu hỏi
Cho \(\Delta ABC,\) gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(2CI = 3BI.\) Gọi \(F\) là điểm trên cạnh \(BC\) kéo dài sao cho \(5FB = 2FC.\)
1. Tính \(\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {AF} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)
2. Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC.\) Tính \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {AF} .\)
- A \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\) - B \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} + \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\) - C \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\) - D \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
1. Ta có: \(2CI = 3BI \Rightarrow 2\overrightarrow {CI} + 3\overrightarrow {BI} = \overrightarrow 0 .\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AI} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 5\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có: \(5\overrightarrow {FB} = 2\overrightarrow {FC} \Rightarrow 5\overrightarrow {BF} - 2\overrightarrow {CF} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AF} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AF} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow 3\overrightarrow {AF} = 5\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
2. Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\))
\( = 2.\frac{3}{2}.\overrightarrow {AG} \) (do \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \))
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \,\,\,\left( {***} \right).\)
Từ câu 1, (*) và (**) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AF} \\\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AF} \end{array} \right..\)
Thế vào (***) ta có : \(\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .\)
Câu hỏi trước
