Phương pháp giải:

Xét phương trình \(y' = 0,\) tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cực trị. Gọi các điểm cực trị là AB.

Viết phương trình đường thẳng AB là đường thẳng đi qua các điểm cực trị. Xác định hệ số góc k của đường thẳng AB.

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng \(y = x + 2 \Leftrightarrow k.1 =  - 1 \Leftrightarrow k =  - 1 \Rightarrow \) Giá trị của tham số m.

Lời giải chi tiết:

TXĐ : D = R.

Có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m = 6\left( {{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\)

Để đồ thị hàm số có cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1.\)

Ta có : \(y = y'.{1 \over 6}\left( {2x - \left( {m + 1} \right)} \right) + \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y = \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)\,\,\left( d \right)\), có hệ số góc \(k = 4m - {\left( {m + 1} \right)^2}.\)

Để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng

\(y = x + 2 \Leftrightarrow k =  - 1 \Leftrightarrow 4m - {\left( {m + 1} \right)^2} =  - 1 \Leftrightarrow 4m - {m^2} - 2m - 1 =  - 1 \Leftrightarrow  - {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   m = 2\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right..\)

Chọn A.