Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, xác định các điểm cực trị B, C của đồ thị hàm số.

Gọi I là trung điểm của BC, tìm tọa độ điểm I : \(I\left( {{{{x_B} + {x_C}} \over 2};{{{y_b} + {y_C}} \over 2}} \right).\)

Tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow AI \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BC}  = 0,\) giải phương trình tìm tham số m.

Lời giải chi tiết:

TXĐ : D = R.

Ta có : \(y' = 3{x^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là :

\(B\left( {\sqrt m ; - 2m\sqrt m  + 1} \right);\,\,C\left( { - \sqrt m ;2m\sqrt m  + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( { - 2\sqrt m ;4m\sqrt m } \right).\)

Gọi I là trung điểm của BC ta có \(I\left( {0;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI}  = \left( {2;2} \right)\).

Tam giác ABC cân tại A\( \Leftrightarrow AI \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( { - 2\sqrt m } \right) + 2.4m\sqrt m  = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt m \left( {2m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = {1 \over 2}\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right..\)

Chọn B.