Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị: \(\Delta  > 0\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right).\)

Giải phương trình \(y' = 0\), tìm các điểm cực trị của hàm số.

Các điểm cực trị \(A,B\) cách đều gốc tọa độ \( \Leftrightarrow OA = OB\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : D = R.

Có \(y' =  - 3{x^2} + 6x + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\)

Để hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 + \left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\) Giả sử \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \(y' = 0.\)

\( \Rightarrow \left[ \matrix{  {x_1} = 1 + m \Rightarrow {y_1} = 2{m^3} - 2 \Rightarrow A\left( {1 + m;2{m^3} - 2} \right) \hfill \cr   {x_2} = 1 - m \Rightarrow {y_2} =  - 2{m^3} - 2 \Rightarrow B\left( {1 - m; - 2{m^3} - 2} \right) \hfill \cr}  \right.\)

A, B cách đều gốc tọa độ

\(\eqalign{  &  \Rightarrow O{A^2} = O{B^2} \Leftrightarrow {\left( {1 + m} \right)^2} + {\left( {2{m^3} - 2} \right)^2} = {\left( {1 - m} \right)^2} + {\left( { - 2{m^3} - 2} \right)^2}  \cr   &  \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 4{m^6} - 8{m^3} + 4 = {m^2} - 2m + 1 + 4{m^6} + 8{m^3} + 4  \cr   &  \Leftrightarrow 16{m^3} = 4m \Leftrightarrow 4{m^3} = m \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m =  \pm {1 \over 2}\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy các giá trị m cần tìm là \(m =  \pm {1 \over 2}\).

Chọn D.