Phương pháp giải:

Gọi hình chiếu của đỉnh, xác định góc từ đó tính chiều cao suy ra thể tích khối lăng trụ.

Công thức tính thể tích lăng trụ : \(V={{S}_{d}}.h.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \({A}'\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)\(\Rightarrow \,\,{A}'H\bot \left( ABC \right).\)

Suy ra \(\widehat{A{A}';\left( ABC \right)}=\widehat{\left( A{A}';AH \right)}=\widehat{{A}'AH}={{30}^{0}}.\)

Tam giác \({A}'AH\) vuông tại \(H,\) có \(\sin \widehat{{A}'AH}=\frac{{A}'H}{A{A}'}\Rightarrow {A}'H=\frac{a}{2}.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là \(V={A}'H.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.\)

Chọn D