Phương pháp giải:

+) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt với \(\left( {AEF} \right)\).

+) Tính thể tích của \(H'\) so với thể tích hình hộp, đưa về các bài toán tính thể tích khối chóp và cộng trừ thể tích.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chứa \(EF//BD \subset \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(EF\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) qua \(A\) kẻ \(HI//BD\,\,\left( {H \in BC,I \in CD} \right)\)

Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) gọi \(L = EH \cap BB'\), trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) gọi \(M = FI \cap DD'\), khi đó \(\left( {AEF} \right) \equiv \left( {ALEFM} \right)\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AEF} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = HE\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = FI\\\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = CC'\end{array} \right. \Rightarrow HE,FI,CC'\) đồng quy tại \(N\).

Ta có : \({V_{H'}} = {V_{N.CIH}} - {V_{N.EFC'}} - {V_{L.ABH}} - {V_{M.ADI}}\)

Ta dễ dàng chứng minh được \(B,D\) lần lượt là trung điểm của \(CH,CI \Rightarrow BD = \frac{1}{2}HI \Rightarrow EF = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}HI\)

\( \Rightarrow \Delta C'EF\) đồng dạng với \(\Delta CIH\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta C'EF}}}}{{{S_{\Delta CIH}}}} = \frac{1}{{16}}\)

 \(\begin{array}{l}\frac{{NC'}}{{NC}} = \frac{{EC'}}{{HC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{d\left( {N';\left( {C'EF} \right)} \right)}}{{d\left( {N;\left( {CIH} \right)} \right)}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {V_{N.EFC'}} = \frac{1}{{16}}.\frac{1}{4}{V_{N.CIH}} = \frac{1}{{64}}{V_{N.CIH}}\\{V_{LABH}} = {V_{M.ADI}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}{V_{N.CIH}} = \frac{1}{8}{V_{N.CIH}}\\ \Rightarrow {V_{H'}} = {V_{N.CIH}} - {V_{N.EFC'}} - {V_{L.ABH}} - {V_{M.ADI}} = \frac{{47}}{{64}}{V_{N.CIH}}\end{array}\)

 Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{CC'}}{{NC}} = \frac{3}{4},\frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{CIH}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.CIH}}}} = \frac{{d\left( {C';\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}}}{{\frac{1}{3}d\left( {N;\left( {CIH} \right)} \right).{S_{CIH}}}} = 3.\frac{{CC'}}{{NC}}.\frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{CIH}}}} = 3.\frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{9}{8}\\ \Rightarrow {V_{S.CIH}} = \frac{8}{9}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\ \Rightarrow {V_{H'}} = \frac{{47}}{{64}}{V_{N.CIH}} = \frac{{47}}{{72}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\ \Rightarrow {V_H} = \frac{{25}}{{72}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\ \Rightarrow \frac{{{V_H}}}{{{V_H}}} = \frac{{25}}{{47}}\end{array}\)

Chọn A.