Câu hỏi
Một khối đa diện H được tạo thành bằng cách từ một khối lập phương cạnh bằng 3, ta bỏ đi khối lập phương cạnh bằng 1 ở một góc của nó như hình vẽ. Gọi S là khối cầu có thể tích lớn nhất chứa H và tiếp xúc với các mặt phẳng \(\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right),\,\,\left( BC{C}'{B}' \right)\) và \(\left( DC{C}'{D}' \right).\) Tính bán kính của mặt cầu S.
- A \(\frac{2+\sqrt{3}}{3}.\)
- B \(3-\sqrt{3}.\)
- C \(\frac{2\sqrt{3}}{3}.\)
- D \(\sqrt{2}.\)
Phương pháp giải:
Xác định bán kính mặt cầu thông qua dữ kiện khoảng cách
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\)là đỉnh của hình lập phương có cạnh bằng \(1\) nằm trên đường chéo \(A{C}'\) và nằm trên khối còn lại sau khi cắt. Gọi \(I\) là tâm của khối cầu có thể tích lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có \(d\left( I;\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=d\left( I;\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( I;\left( DC{C}'{D}' \right) \right).\)
Suy ra \(I\) thuộc đoạn thẳng \({C}'M\) và mặt cầu tâm \(I\) cần tìm đi qua điểm \(M.\)
Đặt \(d\left( I;\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=a,\) ta có \(I{C}'=a\sqrt{3}\) mà \(A{C}'=3\sqrt{3},\,\,AM=\sqrt{3}.\)
Suy ra \(IM=2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\) mặt khác \(d\left( I;\left( DC{C}'{D}' \right) \right)=IM\Leftrightarrow a=2\sqrt{3}-a\sqrt{3}\Rightarrow a=3-\sqrt{3}.\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
