Phương pháp giải:

Sử dụng phương tích, xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (thông qua dựng hình)

Lời giải chi tiết:

Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi \(\left( K;r \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD\)\(\Rightarrow \,\,IA.IC=IB.ID={{r}^{2}}-I{{K}^{2}}\) (phương tích).

Suy ra \({{r}^{2}}={{h}^{2}}+I{{K}^{2}}.\) Gọi \(\left( O;R \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Ta có \({{R}^{2}}=K{{A}^{2}}+O{{K}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}=\frac{5}{4}{{h}^{2}}+I{{K}^{2}}\ge \frac{5}{4}{{h}^{2}}\Rightarrow R\ge \frac{h\sqrt{5}}{2}.\)

Vậy \({{R}_{\min }}=\frac{h\sqrt{5}}{2},\) khi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABCD.\)

Chọn B.