Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ :

\(\begin{align}  HJ\bot BC,\,\,(J\in BC);\,\,OM\bot AC,\,\,\left( M\in AC \right);\,\, \\  ON\bot AB,\,\left( N\in AB \right)\,\,;\,\,OK\bot SJ,\,\left( K\in SJ \right) \\ \end{align}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  HJ\bot BC \\  SH\bot BC \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow BC\bot (SHJ)\Rightarrow BC\bot OK\)

Mà \(OK\bot SJ\Rightarrow OK\bot (SBC)\Rightarrow d(O,(SBC)=OK\).

Theo đề bài, ta có: \(OM=ON=2OK=1\).

Dễ dàng chứng minh được: \(\Delta OMH=\Delta ONH\,\,(ch-cgv)\Rightarrow HM=HN\)

\(\Delta AHM=\Delta AHN\,\,(ch-cgv)\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{NAH}\Rightarrow AH\) là phân giác góc A.

Do I là trung điểm của BC, tam giác ABC đều

\(\Rightarrow AI\) là phân giác góc A.

Suy ra, A, H, I thẳng hàng \(H\in \) đoạn thẳng AI ( do H nằm trong tam giác ABC)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI)\\ \Rightarrow \left( {\widehat {(SBC),(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {SI,AI}} \right) = \widehat {SIA} = {60^0}\end{array}\)

Tam giác SHI vuông tại H \(\Rightarrow \frac{SH}{HI}=\tan {{60}^{0}}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HI\)

Tam giác AIC vuông tại I \(\Rightarrow \frac{AI}{IC}=\tan {{60}^{0}}\Rightarrow AI=\sqrt{3}IC=\sqrt{3}.\frac{BC}{2}=\sqrt{3}SH\)

\(\Rightarrow AI=3HI\Rightarrow H\)là trọng tâm tam giác đều ABC \(\Rightarrow M,N\) lần lượt là trung điểm của AC, AB.

\(\Rightarrow S.ABC\) là hình chóp đều. Mà \(O\in SH\)\(\Rightarrow OM=ON=OI=1\)

Tam giác IOK vuông tại K:  \(\frac{OK}{OI}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}=\sin \widehat{KIO}\Rightarrow \widehat{KIO}={{30}^{0}}\Rightarrow \widehat{HIO}={{60}^{0}}-{{30}^{0}}={{30}^{0}}\)

Tam giác HIO vuông tại H:  \(HI=OI.\cos {{30}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Tam giác SHI vuông tại H: \(SH=HI.\tan {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{2}=h,\,\,\,SI=\frac{HI}{\cos {{60}^{0}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)

Tam giác SCI vuông tại I: \(SC=\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{S{{I}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}=a\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:  \(R=\frac{{{a}^{2}}}{2h}=\frac{{{\left( \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}^{2}}}{2.\frac{3}{2}}=\frac{\frac{21}{4}}{3}=\frac{7}{4}\)

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:  \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{7}{4} \right)}^{3}}=\frac{343\pi }{48}\).

Chọn: B