Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\) và \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x – 1\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \frac{{1 + \cos 2a}}{{\cot \frac{a}{2} - \tan \frac{a}{2}}} = \frac{{2{{\cos }^2}a}}{{\frac{{\cos \frac{a}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}} - \frac{{\sin \frac{a}{2}}}{{\cos \frac{a}{2}}}}} = \frac{{2{{\cos }^2}a}}{{\frac{{{{\cos }^2}\frac{a}{2} - {{\sin }^2}\frac{a}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}}}} = \frac{{2{{\cos }^2}a}}{{\frac{{\cos a}}{{\frac{1}{2}\sin a}}}} = \sin a\cos a = \frac{1}{2}\sin 2a\,\,\,\,\,(*)\)

Ta có: \(\sin a + \cos a = m \Rightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {m^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}a + 2\sin a\cos a + {\cos ^2}a = {m^2} \Leftrightarrow 1 + \sin 2a = {m^2} \Leftrightarrow \sin 2a = {m^2} - 1\).

Thay vào (*): \(A = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\)

Chọn: A