Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô si:  \(2ab\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}},\,\,\left( a,b>0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm CD, AB; độ dài các đoạn: \(AB=a,\,\,CD=b,\,\,a,b>0,\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=18\)

Tam giác ACD và tam giác BCD cân tại A, B

\(\Rightarrow AI\bot CD,\,\,BI\bot CD\Rightarrow CD\bot (ABI)\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABCD}}={{V}_{D.ABI}}+{{V}_{C.ABI}}=\frac{1}{3}.DI.{{S}_{ABI}}+\frac{1}{3}.IC.{{S}_{ABI}}=\frac{1}{3}.CD.{{S}_{ABI}}\)  (*)

Tam giác AID vuông tại I  \(\Rightarrow AI=\sqrt{A{{D}^{2}}-I{{D}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{b}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{25-\frac{{{b}^{2}}}{4}}\)

Dễ dàng chứng minh \(\Delta ACD=\Delta BCD\,\,(c.c.c)\Rightarrow IA=IB\)  (Chiều cao tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow \Delta IAB\)cân tại I \(\Rightarrow IJ\bot AB\)

Tam giác AIJ vuông tại J \(\Rightarrow IJ=\sqrt{A{{I}^{2}}-A\,{{J}^{2}}}=\sqrt{25-\frac{{{b}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{25-\frac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{25-\frac{18}{4}}=\frac{\sqrt{82}}{2}\)

Diện tích tam giác IAB:  \({{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}.AB.IJ=\frac{1}{2}.a.\frac{\sqrt{82}}{2}=\frac{a\sqrt{82}}{4}\). Thay vào (*):

\(\begin{align}  {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.b.\frac{a\sqrt{82}}{4}=\frac{ab\sqrt{82}}{12}\overset{Co\,si}{\mathop{\le }}\,\frac{\sqrt{82}}{12}.\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{82}}{12}.\frac{18}{2}=\frac{3\sqrt{82}}{4}=\frac{x\sqrt[{}]{y}}{4};\,\,x,y\in {{N}^{*}};\,\,(x;y)=1 \\  \Rightarrow x=3,\,\,y=82 \\ \end{align}\)

Kiểm tra các biểu thức của từng phương án, ta thấy phương án A là đúng.

Chọn: A