Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.\,ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B,\,\,AC=a\sqrt{2},\) mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) vuông góc với mặt đáy\(\left( ABC \right).\) Các mặt bên \(\left( SAB \right),\,\,\left( SBC \right)\) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng \({{60}^{0}}.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.\,ABC.\)
- A \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.\)
- B \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}.\)
- C \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.\)
- D \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}.\)
Phương pháp giải:
Xác định chiều cao của hình chóp bằng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AC\,\,\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABC \right).\)
Kẻ \(HM\bot AB\,\,\,\left( M\in AB \right),\,\,HN\bot AC\,\,\,\left( N\in AC \right)\)
Suy ra \(\widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)}=\widehat{SMH}=\widehat{SNH}={{60}^{0}}.\)
\(\Rightarrow \,\,\Delta \,SHM=\Delta \,SHN\)\(\Rightarrow \,\,HM=HN\)\(\Rightarrow \,\,H\) là trung điểm của \(AC.\)
Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H,\) có \(\tan \widehat{SMH}=\frac{SH}{HM}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)
Vậy thể tích cần tính là \(V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)
Chọn D
Câu hỏi trước
