Câu hỏi
Một hình hộp chữ nhật có kích thước \(a\,\left( \text{cm} \right)\text{ }\times \text{ }b\,\left( \text{cm} \right)\text{ }\times \text{ }c\,\left( \text{cm} \right),\) trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên và \(1\le a\le b\le c.\) Gọi \(V\left( c{{m}^{3}} \right)\) và \(S\left( c{{m}^{2}} \right)\) lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp. Biết \(V=S,\) tìm số các bộ ba số \(\left( a,b,c \right).\)
- A 4
- B 10
- C 12
- D 21
Phương pháp giải:
Xác định diện tích toàn phần và thể tích và dùng đánh giá biện luận tìm tham số a, b, c
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(V=abc,\,S=2\left( ab+bc+ca \right)\Rightarrow abc=2\left( ab+bc+ca \right)\) (1)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\). Do \(1\le a\le b\le c\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le \frac{2}{a}\Rightarrow \frac{3}{a}\ge \frac{1}{2}\Leftrightarrow 6\ge a.\)
Tương tự \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3}{c}\Rightarrow \frac{1}{2}\ge \frac{3}{c}\Leftrightarrow c\ge 6.\)
Với \(a=6\Rightarrow a=b=c=6.\)
Với \(a=5\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{10}\Rightarrow \frac{2}{b}\ge\frac{3}{10}\Rightarrow b\le 6,6\Rightarrow \left\{ \begin{align} a=b=5 \\ c=10 \\ \end{align} \right.\)
Với \(a=4\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{2}{b}\ge \frac{1}{4}\Rightarrow b\le 8\Rightarrow \left[ \begin{align} b=8;c=8 \\ b=6;c=12 \\ b=5;c=20 \\ \end{align} \right.\)
……. Suy ra có 10 bộ số thõa mãn.
Chọn B
Câu hỏi trước
