Phương pháp giải:

Xây dựng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thông qua đạo hàm, cho điểm I thuộc tiếp tuyến tìm giá trị của tham số, kết luận số tiếp tuyến có thể có.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\)  là \(y-{{y}_{0}}={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y'=\frac{\left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\)

Điểm \(M\left( a;y\left( a \right) \right)\in \left( C \right)\) suy ra phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là

\(y-{{y}_{0}}={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\Leftrightarrow y-\frac{{{a}^{2}}-a+1}{a-1}=\frac{{{a}^{2}}-2a}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}.\left( x-a \right)\Leftrightarrow y=\frac{{{a}^{2}}-2a}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\,\,\times \,\,x-\frac{2{{a}^{2}}-4a+1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\)

Mà \(I\left( 1;1 \right)\in \left( d \right)\) nên suy ra \(1=\frac{{{a}^{2}}-2a}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}-\frac{2{{a}^{2}}-4a+1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 1=\frac{-{{\left( a-1 \right)}^{2}}}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}=-1\) (vô lý).

Vậy không có tiếp tuyến nào của \(\left( C \right)\) đi qua \(I\left( 1;1 \right).\)

Chọn B