Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số là:

\(y=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'=\frac{1-1.3}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\)

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\Rightarrow M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}-3}{-{{x}_{0}}+1} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:

\(\begin{align}   d:\ y=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)-\frac{{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-1}=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}x+\frac{2{{x}_{0}}-x_{0}^{2}+4{{x}_{0}}-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \\   \ \ \ \ \ \ =-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}x-\frac{x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}. \\ \end{align}\)

Đường thẳng d đi qua \(A\left( a;1 \right)\Rightarrow 1=-\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}a-\frac{x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\)

                                              \(\begin{align}  \Leftrightarrow x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1=-2a-x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3 \\  \Leftrightarrow 2x_{0}^{2}-8{{x}_{0}}+2a+4=0\ \ \ \left( * \right) \\ \end{align}\)

Để có đúng 1 tiếp tuyến của đồ thị đi qua A thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

\(\begin{align}   \Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow 16-2\left( 2a+4 \right)=0 \\   \Leftrightarrow 8-2a-4=0 \\   \Leftrightarrow a=2. \\   \Rightarrow S=\left\{ 2 \right\}. \\ \end{align}\)

Chọn B