Phương pháp giải:

+) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(M\left( 0;{{y}_{0}} \right)\).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( 0;{{y}_{0}} \right)\): \(y={f}'\left( 0 \right)\left( x-0 \right)+{{y}_{0}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có đồ thị hàm số \(y=\frac{x+2}{x+1}\) giao với trục tung tại \(M\left( 0;2 \right)\).

Ta có \({y}'=\frac{-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( 0;2 \right)\) là \(y={y}'\left( 0 \right)\left( x-0 \right)+2\Leftrightarrow y=-x+2\).

Chọn A.