Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, tìm các yếu tố liên quan đến chiều cao của khối chóp suy ra thể tích khối chóp

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(BH\bot AC\,\,\,\left( H\in AC \right),\,\,\,HI\bot SA\,\,\,\left( I\in SA \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\\left( {ABCD} \right) \supset BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SA\\ \Rightarrow SA \bot \left( {BHI} \right) \Rightarrow SA \bot BI\end{array}\)

Suy ra \(\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( BI;HI \right)}=\widehat{BIH}\Rightarrow \tan \widehat{BIH}=\frac{3}{2}.\)

Xét tam giác vuông ABC có \(BH=\frac{BA.BC}{\sqrt{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{6}}{\sqrt{3+6}}=\sqrt{2}\)

Tam giác \(BIH\) vuông tại \(H,\) có

\(\tan \widehat{BIH}=\frac{BH}{IH}\Rightarrow IH=\frac{BH}{\tan \widehat{BIH}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\)

Xét tam giác ABC có : \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=3=SC\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(SA,\,\,\Delta \,SAC\) cân tại \(C\Rightarrow CK\bot SA.\)

Suy ra

\(IH\)//\(CK\)\(\Rightarrow \,\,\frac{AH}{AC}=\frac{IH}{CK}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\Rightarrow CK=3\,IH=3.\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}.\)

\(\Rightarrow AK=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{K}^{2}}}=\sqrt{9-8}=1\Rightarrow SA=2AK=2\)

Mặt khác \({{S}_{\Delta \,SAC}}=\frac{1}{2}.CK.SA=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.2=2\sqrt{2}=\frac{1}{2}d\left( S;\left( AC \right) \right).AC\Rightarrow d\left( S;\left( AC \right) \right)=\frac{2\sqrt{2}.2}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.d\left( S;\left( AC \right) \right).{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{4\sqrt{2}}{3}.3\sqrt{2}=\frac{8}{3}.\)

Chọn A.