Câu hỏi

Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

  • A

     \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)                            

  • B

     \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{72}\)                            

  • C

     \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)                            

  • D  \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36}\)

Phương pháp giải:

Gọi H là tâm tam giác ABC \(\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi H là tâm tam giác đều ABC ta có \(SH\bot \left( ABC \right)\)

Gọi M la trung điểm của AB ta có: tam giác SAB cân tại S nên \(SM\bot AB\), tam giác ABC đều nên \(HM\bot AB\)

\(\left\{ \begin{align}   \left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\   \left( SAB \right)\supset SM\bot AB \\  \left( ABC \right)\supset HM\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SM;HM \right)}=\widehat{SMH}={{30}^{0}}\)

Ta có: \(CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HM=\frac{1}{3}CM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Xét tam giác vuông SHM có \(SH=HM.\tan 30=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{6}\), \({{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{6}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}\)  

Chọn B.


Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay