Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {1 + {x^3}} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^3}}  \Leftrightarrow {t^2} = 1 + {t^3} \Leftrightarrow {x^3} = {t^2} - 1\)

\( \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt \Leftrightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}tdt\)

Đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 1 \Leftrightarrow t = \sqrt 2  \hfill \cr   x = 2 \Leftrightarrow t = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I = \int\limits_1^2 {{{dx} \over {x\sqrt {1 + {x^3}} }}}  = \int\limits_1^2 {{{{x^2}dx} \over {{x^3}\sqrt {1 + {x^3}} }}}  = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{{{2 \over 3}tdt} \over {\left( {{t^2} - 1} \right)t}}}  = {2 \over 3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{{dt} \over {{t^2} - 1}}}  = {1 \over 3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\left( {{1 \over {t - 1}} - {1 \over {t + 1}}} \right)dt} \)

Vậy đáp án D sai.

Chọn D.