Lời giải chi tiết:

Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm \(B,\,\,M,\,\,C\) (hình vẽ dưới).

Suy ra độ dài thanh sào là \(L=BM+MC=\frac{BH}{\sin \widehat{BHM}}+\frac{CK}{\sin \widehat{CMK}}\)

Đặt \(\widehat{BMH}=x\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{CMK}={{90}^{0}}-x,\) do đó \(L=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}.\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \,\,{{L}_{\min }}\Leftrightarrow \,\,f\left( x \right)=\frac{24}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}\) min.

Ta có \({f}'\left( x \right)=\frac{3\sin x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{24\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=0\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x=8{{\cos }^{3}}x\Leftrightarrow \tan x=2.\)

\(\Rightarrow \,\,\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}x}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}x}=\frac{2}{\sqrt{5}}.\)

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} f\left( x \right) = 15\sqrt 5 .\) Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là \(15\sqrt{5}.\)

Chọn C