Phương pháp giải:

Điều kiện để hàm số \(y={{\log }_{a}}f\left( x \right)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(0<a\ne 1;f\left( x \right)>0\)

Hàm số mũ luôn dương với mọi x.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \(y' = \frac{{2x}}{{\frac{1}{{{x^2}}}\ln 5}} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án B: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án C: \(y' = \frac{1}{{2\sqrt x }}{.2018^{\sqrt x }}\ln 2018 > 0\,\,\forall x > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án D: \(y' =  - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^3} + x}}.\ln \left( {\frac{1}{2}} \right).\left( {3{x^2} + 1} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^3} + x}}\left( {3{x^2} + 1} \right)\ln 2 > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R.

Chọn đáp án D.