Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi \(y'\ge 0\,,\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\) y’ = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

Công thức tính đạo hàm của hàm \(y={{a}^{u}}\Rightarrow y'=u'.{{a}^{u}}\ln a\)

Lời giải chi tiết:

\(y={{7}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( 9-3m \right)x+1}}\Rightarrow y'=\left( 3{{x}^{2}}+6x+9-3m \right){{.7}^{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( 9-3m \right)x+1}}\ln 7\)

Hàm số đồng biến trên \(\left[ 0;1 \right]\) khi và chỉ khi \(y'\ge 0\,,\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 6x + 9 - 3m} \right){.7^{{x^3} + 3{x^2} + \left( {9 - 3m} \right)x + 1}}\ln 7 \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 6x + 9 - 3m} \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\end{array}\)

\(\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}+2x+3,\forall x\in \left[ 0;1 \right]\)

Đặt \(g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+3\Rightarrow g'\left( x \right)=2x+2;g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1\notin \left[ 0;1 \right]\)

Từ bảng biến thiên ta có \(m\le Ming\left( x \right)\Leftrightarrow m\le 3,m\in {{Z}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}\)

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.