Phương pháp giải:

\(A{{B}^{2}}=2O{{A}^{2}}-2O{{A}^{2}}\cos {{120}^{0}}=2.{{\left( 2a \right)}^{2}}+2.{{\left( 2a \right)}^{2}}.\frac{1}{2}=12{{a}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\Rightarrow AB=2a\sqrt{3}\)

Vì tam giác \(DAB\) đều nên \(DA=DB=AB=2a\sqrt{3}\)

\(OD=\sqrt{B{{D}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{2}\)

Vì \(\Delta CAB\) vuông cân nên \(2C{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=12{{a}^{2}}\Rightarrow C{{B}^{2}}=6{{a}^{2}}\)

\(\Rightarrow OC=\sqrt{C{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD.\) Vẽ tam giác \(EPQ\) có các cạnh lần lượt song song với các cạnh của \(\Delta OAB.\) Vẽ đường thẳng qua \(M\) song song với \(CD\) và giao với tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD.\)

Ta có: \(DE=\frac{CD}{2}=\frac{CO+OD}{2}=\frac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{EQ}{OB}=\frac{DE}{DO}=\frac{\frac{3a\sqrt{2}}{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{PQ}{AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{DS}{DM}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{SM}{SD}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow MI=\frac{1}{3}ED=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2};AI=\sqrt{A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{5a}{\sqrt{2}}.\)

 Chọn C.