Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\). Dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

A. Xét \(y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3\) có \({y}'=4{{x}^{3}}+4x=4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)>0\Leftrightarrow x>0\).

B. Xét \(y=\frac{x}{x+2}\) có \({y}'=\frac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne -2\).

D. Xét \(y=2{{x}^{2}}\) có \({y}'=4x>0\Leftrightarrow x>0\).

C. Xét \(y={{x}^{3}}+3x+2\) có \({y}'=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C