Phương pháp giải:

+) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow A'G\bot \left( ABC \right)\)

+) \(d\left( AA';BC \right)=d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)\)

+) Tính thể tích khối lăng trụ \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow A'G\bot \left( ABC \right)\)

\(AA'//BB'\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=d\left( AA';\left( BCC'C \right) \right)\)

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ ta có:

\(\left\{ \begin{align}  & BC\bot AD \\  & BC\bot A'G \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AA'ED \right)\Rightarrow \left( BCC'D' \right)\bot \left( AA'ED \right)\)

Trong (AA’ED) kẻ \(AH\bot DE\) ta có :

\(AH\bot \left( BCC'D' \right)\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=AH=\frac{3a}{4}\)

Tam giác ABC đều cạnh a \(\Rightarrow AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AA'=\sqrt{A'{{G}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)  

Ta có:

\(\begin{align}  & AH.AA'=A'G.AD\Leftrightarrow \frac{3a}{4}.\sqrt{A'{{G}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=A'G.\frac{a\sqrt{3}}{2} \\  & \Leftrightarrow \frac{9}{16}\left( A'{{G}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{3} \right)=\frac{3}{4}A'{{G}^{2}} \\  & \Leftrightarrow \frac{3}{16}A'{{G}^{2}}=\frac{3}{16}{{a}^{2}}\Rightarrow A'G=a \\  & {{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \\ \end{align}\)

Chọn A.