Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp: \(V=\frac{1}{3}h{{S}_{d}}.\)

Lời giải chi tiết:

Tứ diện ABCD đều, gọi H là tâm tam giác đều BCD \(\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\)

Có \(\left( AMN \right)\bot \left( BCD \right)\Rightarrow \left( AMN \right)\supset AH\Rightarrow H\in MN\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABMN}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BMN}}\), với AH không đổi.

Dễ thấy diện tích tam giác BMN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác BMN đều, khi đó MN // CD

\(\frac{BM}{BC}=\frac{BH}{BE}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC=2\Rightarrow {{S}_{BM{{N}_{\min }}}}=\frac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\) 

Diện tích tam giác BMN lớn nhất khi và chỉ khi \(N\equiv D\) hoặc \(M\equiv C\) , khi đó \({{S}_{BM{{N}_{\max }}}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\frac{{{3}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{8}\)

Có \(BH=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BM{{N}_{\text{max}}}}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}.\frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{9\sqrt{2}}{8} \\  & \,\,\,\,\,\,{{V}_{2}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BM{{N}_{\text{min}}}}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}.\sqrt{3}=\sqrt{2} \\  & \Rightarrow {{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{17\sqrt{2}}{8} \\ \end{align}\) 

Chọn A.