Phương pháp giải:

- Tính độ dài đường cao hình nón (là đường cao hình chóp).

- Tính bán kính hình tròn đáy và thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h\)

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB, O là giao điểm của AC và BD.

Do S.ABCD là chóp tứ giác đều nên \(SI\bot AB\Rightarrow {{S}_{SAB}}=\frac{1}{2}SI.AB\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}SI.a=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow SI=4a\).

\(SO\bot (ABCD)\Rightarrow SO\bot OI\)

Tam giác SOI vuông tại O, theo Pytago, ta có:

\(S{{O}^{2}}=S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}={{(4a)}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}=\frac{63{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow SO=\frac{3a\sqrt{7}}{2}\)

 Thể tích khối nón có đỉnh là S và đường tròn đáy nội tiếp ABCD là:

        \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi O{{I}^{2}}.SO=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.\frac{3a\sqrt{7}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{7}}{8}\)

Chọn: A.