Phương pháp giải:

 Quan sát và nhận xét đồ thị, tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\)

- Thử từng giá trị của b  và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị, ta thấy: đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-a}{4x-b}\) nghịch biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\).

Ta có: \(y=\frac{2x-a}{4x-b}\Rightarrow y'=\frac{4a-2b}{{{(4x-b)}^{2}}},\,\,x\ne \frac{b}{4}\)

Lại có, đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(x=1\) nên \(x=1\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra \(\frac{b}{4}\ne 1\Leftrightarrow b\ne 4\)

Để hàm số \(y=\frac{2x-a}{4x-b}\) nghịch biến trên \(\left( 1;+\infty  \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 2b < 0\\\frac{b}{4} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b > 2a\\b < 4\end{array} \right.\)

\(b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow b\in \left\{ 1;2;3 \right\}\)

+) \(b=1\Rightarrow 1>2a\Rightarrow a<\frac{1}{2}\): Không có giá trị của a thỏa mãn.

+) \(b=2\Rightarrow 2>2a\Rightarrow a<1\): Không có giá trị của a thỏa mãn.

+) \(b=3\Rightarrow 3>2a\Rightarrow a<\frac{3}{2}\Rightarrow a=1\Rightarrow y=\frac{2x-1}{4x-3}\) thỏa mãn bài toán.

Vậy, có tất cả \(1\)  cặp số nguyên dương \(\left( a;b \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\left( 1;3 \right)\).

Chọn: A.