Phương pháp giải:

- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.

- Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số.

- Tìm các cực trị và xét tính đi qua một điểm của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\):

+) \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-2}=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-2}=-\infty \Rightarrow \)Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là\(x=2\). Phương án A: đúng.

+) \(y'=-\frac{5}{{{(x-2)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne 2\Rightarrow \)Hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\) không có cực trị và hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;2 \right);\,\,\left( 2;+\infty  \right)\). Phương án B và D: sai.

+) Ta có: \(3=\frac{2.1+1}{1-2}\) vô lí  \(\Rightarrow \)Đồ thị hàm số không đi qua điểm\(A(1;3)\). Phương án C: sai.

Chọn: A.