Phương pháp giải:

- Tính tích phân vế trái theo b , từ đó được phương trình ẩn b .

- Giải phương trình đó ta tìm được b , sử dụng điều kiện \(b\in \left( \pi ;3\pi  \right)\) để tìm b .

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_{\pi }^{b}{4\cos 2xdx=1}\Leftrightarrow 2\int\limits_{\pi }^{b}{\cos 2xd(2x)=1}\Leftrightarrow 2\sin \left. 2x \right|_{\pi }^{b}=1\Leftrightarrow 2\sin 2b-2\sin 2\pi =1\Leftrightarrow \sin 2b=\frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2b = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\b = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,\,\,\,k \in \)

+) \(b=\frac{\pi }{12}+k\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\)

\(b\in \left( \pi ;3\pi  \right)\Leftrightarrow \pi <\frac{\pi }{12}+k\pi <3\pi \Leftrightarrow \frac{11}{12}<k<\frac{35}{12}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}\)

\(\Rightarrow \)Có \(2\) giá trị của b thỏa mãn.

+) \(b=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,\,\,\,\,k\in \mathbb{Z}\)

\(b\in \left( \pi ;3\pi  \right)\Leftrightarrow \pi <\frac{5\pi }{12}+k\pi <3\pi \Leftrightarrow \frac{7}{12}<k<\frac{31}{12}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}\)

\(\Rightarrow \)Có \(2\) giá trị của b thỏa mãn.

Vậy có tất cả \(4\) số nguyên b thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn: C.