Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Tính độ dài khoảng cách đoạn thẳng \(AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}\), sử dụng định lý Vi-et để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\frac{x+3}{x-1}\) và đường thẳng \(y=x+1\):

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = x + 1\,\,(x \ne 1)\\ \Leftrightarrow x + 3 = (x - 1)(x + 1) \Leftrightarrow x + 3 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 0\,\,(*)\end{array}\)

Gọi \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\)là nghiệm của phương trình (*), theo Vi – et ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4\)

Tọa độ giao điểm \(A({{x}_{1}};{{x}_{1}}+1),\,\,B({{x}_{2}};{{x}_{2}}+1)\).

Độ dài đoạn thẳng AB:

                    \(AB=\sqrt{{{({{x}_{2}}-{{x}_{1}})}^{2}}+{{\left[ ({{x}_{2}}+1)-({{x}_{1}}+1) \right]}^{2}}}=\sqrt{2{{({{x}_{2}}-{{x}_{1}})}^{2}}}=\sqrt{2{{({{x}_{2}}+{{x}_{1}})}^{2}}-8{{x}_{2}}{{x}_{1}}}=\sqrt{{{2.1}^{2}}-8.(-4)}=\sqrt{34}\)

Chọn: A.