Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\).

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, \(AC=a.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}\).

\(\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\)

Đặt SH = x ta có:

\(SB=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}\), \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{13{{a}^{2}}}{4}}\).

Mà

\(\begin{array}{l}S{B^2} + S{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4} + {x^2} + \frac{{13{a^2}}}{4} = 4{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{a}{2} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\end{array}\).

Kẻ \(HK\bot BC\), \(HI\bot SK\) với \(K\in BC,\,\,I\in SK\) ta có:

Mặt khác

\(HK=HB.\sin \widehat{B}=\frac{a}{2}.\sin 60=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{H{{K}^{2}}}+\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{28}{3{{a}^{2}}}\).

\(HI=\frac{a\sqrt{21}}{14}\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\frac{a\sqrt{21}}{14}\).

Chọn C.