Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABC có \(\widehat{BAC}={{90}^{0}},\,\,BC=2a,\,\,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\). Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính khoảng cách từ trung điểm của AB đến mặt phẳng (SBC).
- A
\(\frac{a\sqrt{21}}{2}.\)
- B
\(\frac{a\sqrt{21}}{7}.\)
- C
\(\frac{a\sqrt{21}}{14}.\)
- D \(\frac{a\sqrt{21}}{21}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\).
Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, \(AC=a.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3}\).
\(\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\)
Đặt SH = x ta có:
\(SB=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}\), \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{13{{a}^{2}}}{4}}\).
Mà
\(\begin{array}{l}S{B^2} + S{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{{a^2}}}{4} + {x^2} + \frac{{13{a^2}}}{4} = 4{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{a}{2} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\end{array}\).
Kẻ \(HK\bot BC\), \(HI\bot SK\) với \(K\in BC,\,\,I\in SK\) ta có:
Mặt khác
\(HK=HB.\sin \widehat{B}=\frac{a}{2}.\sin 60=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{H{{K}^{2}}}+\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{28}{3{{a}^{2}}}\).
\(HI=\frac{a\sqrt{21}}{14}\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\frac{a\sqrt{21}}{14}\).
Chọn C.