Phương pháp giải:

+) Giả sử tiếp tuyến đi qua \(A\left( a;1 \right)\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x={{x}_{0}}\) , viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x={{x}_{0}}\) là : \(y=\frac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)\)

+) \(A\in d\Rightarrow \) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d, tìm điều kiện để phương trình đó có duy nhất nghiệm \({{x}_{0}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(x=R\backslash \left\{ 1 \right\}\) ; \(y'=\frac{-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Giả sử tiếp tuyến đi qua \(A\left( a;1 \right)\) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x={{x}_{0}}\) , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng : \(y=\frac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)\)

Vì \(A\in d\) nên  thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có :

\(\begin{align}  & 1=\frac{-1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( a-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1} \\  & \Leftrightarrow -a+{{x}_{0}}-x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}-2=x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \\  & \Leftrightarrow 2x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}+3+a=0\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Để chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình (*) có 1 nghiệm.

TH1 : Phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 9 - 2\left( {3 + a} \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 2a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\).

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm \({x_0} = 1\)

\( \Rightarrow 2 - 6 + 3 + a = 0 \Leftrightarrow a = 1\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {\frac{3}{2};1} \right\}\)

Chọn C.