Phương pháp giải:

Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) với tứ diện ABCD. Sử dụng các tỉ số và chiều cao và diện tích đáy để suy ra tỉ số thể tích của các khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) và (ABC) có điểm \({{G}_{1}}\) chung và \({{G}_{2}}{{G}_{3}}//GF//BC\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là HI đi qua G₁ và song song với BC.

Tương tự ta chứng minh được:

\(\begin{align} & \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\cap \left( ABD \right)=HJ//BD \\  & \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\cap \left( ACD \right)=IJ//CD \\  & \Rightarrow \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\equiv \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \\ \end{align}\)

Trong (AED): \(A{{G}_{4}}\cap J{{G}_{1}}=K\Rightarrow A{{G}_{4}}\cap \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)=K\)

\(\Rightarrow \frac{d\left( {{G}_{4}};\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right)}{d\left( A;\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right)}=\frac{{{G}_{4}}K}{AK}\)

Ta có:

\(\frac{A{{G}_{1}}}{AE}=\frac{AH}{AB}=\frac{AJ}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}J//ED\Rightarrow \frac{{{G}_{4}}K}{AK}=\frac{E{{G}_{1}}}{A{{G}_{1}}}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{V}_{{{G}_{4}}.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}d\left( {{G}_{4}};\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right).{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( A;\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right).{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{2}{{V}_{A.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\backsim \Delta JIH\) theo tỉ số \(k=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{4}{{S}_{HIJ}}\Rightarrow {{V}_{A.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{4}{{V}_{A.HIJ}}\)

\(\begin{align}  & \frac{{{V}_{A.HIJ}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{AH}{AB}.\frac{AI}{AC}.\frac{AJ}{AD}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{A.HIJ}}=\frac{8}{27}{{V}_{A.BCD}} \\  & \Rightarrow {{V}_{{{G}_{4}}.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{8}{27}=\frac{1}{27}V \\ \end{align}\)

Chọn A.