Phương pháp giải:

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \(\text{Ox},Oy,d\Rightarrow R=d\left( I,\text{Ox} \right)=d\left( I,Oy \right)=d\left( I,d \right)\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\) đến \(\Delta :\,\,ax+by+c=0\)  là \(d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \text{a}{{\text{x}}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường tròn (C) có tâm \(I\left( a,b \right)\)

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \(\text{Ox},Oy,d\Rightarrow R=d\left( I,\text{Ox} \right)=d\left( I,Oy \right)=d(I,d)\)

\(\Rightarrow R=\left| b \right|=\left| a \right|=\frac{\left| 3a-4b+1 \right|}{5}\)

TH1: Nếu \(a=b\), ta có  \(\left| a \right| = \frac{{\left| {3a - 4a + 1} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {1 - a} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 1 - a\\5a = a - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\a = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\)

TH2: Nếu \(a=-b\), ta có  \(\left| a \right| = \frac{{\left| {3a + 4a + 1} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {1 + 7a} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 1 + 7a\\5a =  - 1 - 7a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\a = \frac{{ - 1}}{{12}}\end{array} \right.\)

Vì (C) có bán kính nhỏ  nhất nên chọn \(R=\left| a \right|=\frac{1}{12}\)

(C) tâm \(I\left( -\frac{1}{12};\frac{1}{12} \right),\,R=\frac{1}{12}\) \( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x + \frac{1}{{12}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{144}}\) 

Chọn D.