Phương pháp giải:

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \(\text{Ox},Oy\Rightarrow R=d\left( I,\text{Ox} \right)=d\left( I,Oy \right)\) (C)  đi qua \(M\) nên ta có \(R=IM\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường tròn (C) có tâm \(I\left( a,b \right)\)

 tiếp xúc \({\rm{Ox}},Oy \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) \Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - b\end{array} \right.\)

Vì đường tròn (C)  đi qua \(M\left( 4;2 \right)\)nên ta có \(R=IM=\sqrt{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}\)

TH1: Nếu \(a=b\), ta có  \(\sqrt{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( a-2 \right)}^{2}}}=\left| a \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 12a + 20}  = \left| a \right| \Leftrightarrow 2{a^2} - 12a + 20 = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: Nếu \(a=-b\), ta có  \(\sqrt{{{\left( -b-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}=\left| b \right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2{{b}^{2}}+4b+20}=\left| b \right|\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+4b+20={{b}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+4b+20=0\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vì (C) có bán kính lớn  nhất nên chọn \(R=\left| a \right|=10\)  

\(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 10;10 \right);\,\,R=10\Rightarrow \left( C \right):{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}=100\)   

Chọn D.