Phương pháp giải:

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \({{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}}\Rightarrow d\left( I,{{\Delta }_{1}} \right)=d\left( I,{{\Delta }_{2}} \right)\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\) đến \(\Delta :\,\,ax+by+c=0\)  là \(d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \text{a}{{\text{x}}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I\left( a,b \right)\in d:x-y+5=0\,\,\Leftrightarrow a-b+5=0\Leftrightarrow b=a+5\Rightarrow I\left( a;a+5 \right)\)

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \({{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}}\Rightarrow d\left( I,{{\Delta }_{1}} \right)=d\left( I,{{\Delta }_{2}} \right)\)  

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.a + a + 5 - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {a + 4\left( {a + 5} \right) + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {5a + 3} \right| = \left| {5a + 37} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a + 3 = 5a + 37\,\,\left( {vn} \right)\\5a + 3 =  - 5a - 37\end{array} \right. \Leftrightarrow 10a =  - 40 \Leftrightarrow a =  - 4 \Rightarrow I\left( { - 4;1} \right)\\R = d\left( {I,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 4} \right) + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {1^2}} }} = \frac{{17}}{{\sqrt {17} }} = \sqrt {17} \end{array}\)

\(\left( C \right)\) tâm \(I\left( -4;1 \right),\,R=\sqrt{17}\Rightarrow \left( C \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=17\)

Chọn A.