Phương pháp giải:

Đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\) khi ta có  \(d(I;\Delta )=R\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\) đến \(\Delta :\,\,ax+by+c=0\)  là \(d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \text{a}{{\text{x}}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(I(a;b)\) là tâm của đường tròn (C) với \(a>0\)  

Theo giả thiết \(I(a;b)\) nằm trên đường thẳng \(d:\)\(x+y+1=0\) nên ta có \(I(a;-1-a)\).

Vì đường tròn (C) có bán kính bằng 5, tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\)\(3x+4y-20=0\)  nên ta có

\(d(I;\Delta )=R\)  \(\frac{{\left| {3.a + 4\left( { - 1 - a} \right) - 20} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| { - a - 24} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - a - 24 = 25\\ - a - 24 =  - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 49\\a = 1\end{array} \right.\)

Vì  \(a>0\)  nên chọn a = 1.

\((C)\) có tâm \(I\left( 1;-2 \right)\) và \(R=5\)\(\Rightarrow (C):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=25\)

Chọn C.