Phương pháp giải:

Đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\)khi ta có  \(d(I;\Delta )=R\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\) đến \(\Delta :\,\,ax+by+c=0\)  là: \(d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \text{a}{{\text{x}}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết \(I\,\,\left( {{x}_{I}}>0 \right)\) nằm trên đường thẳng \({{d}_{1}}:\)\(x-2y+3=0\) nên ta có \(I\left( 2a-3;a \right)\) với \(a>\frac{3}{2}\).

Vì đường tròn (C) có bán kính bằng 2, tiếp xúc với đường thẳng \({{d}_{2}}:4x+3y-5=0\)  nên ta có

\(d(I;{{d}_{2}})=R\)  \(\frac{{\left| {4.\left( {2a - 3} \right) + 3.a - 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {11a - 17} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11a - 17 = 10\\11a - 17 =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{27}}{{11}}\\a = \frac{7}{{11}}\end{array} \right.\)

Vì  \(a>\frac{3}{2}\) nên chọn \(a=\frac{27}{11}\).

\((C)\) có tâm \(I\left( \frac{21}{11};\frac{27}{11} \right)\) và \(R=2\) \(\Rightarrow \left( C \right):{{\left( x-\frac{21}{11} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{27}{11} \right)}^{2}}=4\)

Chọn B.