Phương pháp giải:

Đường tròn qua hai điểm  A, B nên ta có \(R=IA=IB\)

Đường tròn tiếp xúc với Ox nên ta cũng có \(R=d(I;\text{Ox})\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R\).

Vì đường tròn qua hai điểm  A, B nên ta có \(R=IA=IB\)

\(\begin{array}{l}R = \sqrt {{{(2 - a)}^2} + {{(5 - b)}^2}}  = \sqrt {{{(4 - a)}^2} + {{(1 - b)}^2}} \\ \Leftrightarrow {(2 - a)^2} + {(5 - b)^2} = {(4 - a)^2} + {(1 - b)^2}\\ \Leftrightarrow 4a - 8b + 12 = 0\\ \Leftrightarrow a - 2b + 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì đường tròn tiếp xúc với Ox nên ta cũng có \(R=d\left( I;\text{Ox} \right)=\left| b \right|\) hay ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {5 - b} \right)}^2}}  = \left| b \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4a - 10b + 29 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) có \(b=\frac{a+3}{2}\). Thay vào (2) ta được:  

\({a^2} - 4a - 5\left( {a + 3} \right) + 29 = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 9a + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 7\end{array} \right.\)

Với \(a=2\) suy ra \(b=\frac{5}{2}\) , ta có: \(I\left( 2;\frac{5}{2} \right)\) và \(R=\frac{5}{2}\), ta có đường tròn \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\) 

Với \(a=7\) suy ra \(b=5\) , ta có: \(I\left( 7;5 \right)\) và \(R=5\), ta có đường tròn \({{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25\) 

Bài toán yêu cầu đường tròn có bán kính nhỏ nhất nên chọn \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\)

Chọn A.