Câu hỏi
Phương trình đường tròn \((C)\) đi qua \(A(3;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \((d):2x+y-3=0\) tại điểm \(B(1;1)\) là:
- A \({{\left( x-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{3} \right)}^{2}}=\frac{20}{9}\)
- B \({{\left( x+\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{5}{3} \right)}^{2}}=\frac{20}{9}\)
- C \({{\left( x-\frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{7}{3} \right)}^{2}}=\frac{20}{9}\)
- D \({{\left( x+\frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{7}{3} \right)}^{2}}=\frac{20}{9}\)
Phương pháp giải:
Giả sử đường tròn có tâm I và bán kính R. Sử dụng tính chất:
đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại B nên ta có: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\). đường tròn qua A nên ta có \(R=IA=IB\).Lời giải chi tiết:
Giả sử đường tròn có tâm \(I(a;b)\)
Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \((d):2x+y-3=0\) tại \(B(1;1)\) nên ta có: \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\).
Mà \(\overrightarrow{BI}=\left( a-1;b-1 \right),\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;-2)\) nên ta có
\(1\left( a-1 \right)-2\left( b-1 \right)=0\Leftrightarrow a-2b+1=0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì đường tròn qua \(A\left( 3;3 \right)\) nên ta có \(R=IA=IB\)
\(IA=IB\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -4a-4b+16=0\Leftrightarrow a+b=4\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 1 = 0\\a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{3}\\b = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)
Ta có \(R=BI=\sqrt{{{\left( \frac{7}{3}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{3}-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{20}{9}}\)
Vậy ta có phương trình \({{\left( x-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{3} \right)}^{2}}=\frac{20}{9}\)
Chọn A.
Câu hỏi trước
