Phương pháp giải:

Giả sử đường tròn tâm I, bán kính R. Sử dụng tính chất:

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  d tại A nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\R = AI\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta :2x+y=0\) , giả sử \(I(i;-2i)\).

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  \(d:x-7y+10=0\) tại \(A(4;2)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\R = AI\end{array} \right.\).

 Mà \(\overrightarrow{AI}=\left( i-4;-2i-2 \right),\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 7;1 \right)\)  nên ta có

\(7(i-4)+1.(-2i-2)=0\Leftrightarrow 5i-30=0\Leftrightarrow i=6\Rightarrow I(6;-12)\)

Và  \(\overrightarrow{AI}=\left( 2;-14 \right)\Rightarrow R=AI=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -14 \right)}^{2}}}=10\sqrt{2}\).

Vậy ta có phương trình \({{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y+12 \right)}^{2}}=200\)  

Chọn D.