Phương pháp giải:

Đường tròn (C)  tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\)khi ta có  \(d\left( I;\Delta  \right)=R\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\) đến  \(\Delta :\,\,ax+by+c=0\)  là: \(d\left( I;\Delta  \right)=\frac{\left| \text{a}{{\text{x}}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \(d\Rightarrow R=d(I,d)=\frac{|-2+2.2+1|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\)

\(\left( C \right)\) tâm \(I\left( -2;2 \right),\,R=\frac{3}{\sqrt{5}}\Rightarrow \left( C \right):{{(x+2)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=\frac{9}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + {y^2} - 4y + 4 = \frac{9}{5}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x - 4y + \frac{{31}}{5} = 0\end{array}\)   

Chọn B.