Phương pháp giải:

Tìm điểm \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)\) nằm trên đường thẳng dvà thỏa mãn điều kiện \(IA=IB\). Phương trình đường tròn (C) có tâm  \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)\) và bán kính \(R=IA=IB\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử điểm \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}} \right)\) là tâm của đường tròn (C). Vì I nằm trên đường thẳng \(x-2y+5=0\) nên ta có \({{x}_{I}}-2{{y}_{I}}+5=0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm \(A\left( 0;4 \right),\,\,B\left( 2;6 \right)\) nên ta có \(IA=IB\). Điều này tương đương với \(I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\)  hay \({{\left( {{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( 4-{{y}_{I}} \right)}^{2}}={{\left( 2-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( 6-{{y}_{I}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}_{I}}+{{y}_{I}}-6=0\,\,\,\left( 2 \right)\)

.Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 2{y_I} + 5 = 0\\{x_I} + {y_I} - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{7}{3}\\{y_I} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\).

Mặt khác ta có \(R=IA=\sqrt{{{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{11}{3}-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}\) 

Vậy (C) có dạng \(\left( C \right):{{\left( x-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{11}{3} \right)}^{2}}=\frac{50}{9}\)

Chọn A.