Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng (SBC): kẻ NI // SC, \(I\in BC\).

Trong mặt phẳng (SAC): kẻ MJ // SC, \(J\in AC\).

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha  \right)\)là MNIJ.

Ta tính tỉ số thế tích của khối đa diện MNBIJA với khối chóp S.ABC :

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{N.MAJ}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.d(N,\,(SAC)).\,{S_{AMJ}}}}{{\frac{1}{3}.d(B,(SAC)).{S_{SAC}}}} = \frac{{d(N,\,(SAC))}}{{d(B,\,(SAC))}}.\frac{{{S_{AMJ}}}}{{{S_{SAC}}}}\\ = \frac{{SN}}{{BS}}.\frac{{AM}}{{SA}}.\frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{N.MAJ}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABC}}\,\,(1)\end{array}\)

\(\frac{{{V}_{N.ABIJ}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{\frac{1}{3}.d(N,(ABC)).{{S}_{ABIJ}}}{\frac{1}{3}.d(S,(ABC)).{{S}_{ABC}}}=\frac{d(N,(ABC))}{d(S,(ABC))}.\frac{{{S}_{ABIJ}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{NB}{SB}.\frac{{{S}_{ABIJ}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{3}.\frac{7}{9}=\frac{7}{27}\)  (vì \(\frac{{{S}_{CIJ}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{IC}{BC}.\frac{JC}{AC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\)).

 \(\Rightarrow {{V}_{N.ABIJ}}=\frac{7}{27}{{V}_{S.ABC}}\,\,(2)\)

Từ (1), (2) suy ra \({{V}_{N.AMJ}}+{{V}_{N.ABIJ}}=\left( \frac{8}{27}+\frac{7}{27} \right){{V}_{S.ABC}}\Leftrightarrow {{V}_{MNBIJA}}=\frac{5}{9}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow \frac{{{V}_{MNBIJA}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{5}{9}\) .

Chọn: A.