Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị của hàm \({f}'\left( x \right)\) ta suy ra các tính chất \({f}'\left( x \right)=0\) có một nghiệm duy nhất \(x=0\) và \({f}'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương nên \(x=0\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) ta thấy phương trình \({f}'\left( x \right)=0\) chỉ có nghiệm duy nhất \(x=0\) và \(y={f}'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x=0\)nên hàm số \(y=f\left( x \right)\)có duy nhất một cực trị là cực tiểu.

A. \(y=-4{{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1\) có \({y}'\left( 0 \right)=-16{{x}^{3}}-2x=0,{{y}'}'\left( 0 \right)=-48{{x}^{2}}-2<0\) nên \(x=0\) là điểm cực đại.

B. \(y=2{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+2\) có \(y' = 8{x^3} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

C. \(y={{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2\) có phương trình \({{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2=0\) có hai nghiệm thực nên đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2\) cắt trục hoành.

D. Ta thấy chỉ có hàm số \(y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1\) thỏa mãn đầy đủ các yêu cầu trên.

Chọn D.