Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{4x+1}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{4x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=4x+1\Leftrightarrow 2tdt=4dx\Leftrightarrow dx=\frac{1}{2}tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = 6 \Leftrightarrow t = 5\end{array} \right.\), khi đó 

\(\begin{align}\int\limits_{0}^{6}{\frac{2dx}{\sqrt{4x+1}+1}}=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2.\frac{1}{2}tdt}{t+1}}=\int\limits_{1}^{5}{\frac{tdt}{t+1}}=\int\limits_{1}^{5}{\left( 1-\frac{1}{t+1} \right)dt}=\left. \left( t-\ln \left| t+1 \right| \right) \right|_{1}^{5}=5-\ln 6-1+\ln 2=4-\ln 3 \\ \Rightarrow a=3 \\ \end{align}\)

Chọn D.