Phương pháp giải:

Đặt \(t=\ln x\), sử dụng công thức \(\ln ab=\ln a+\ln b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{dx}{x\ln x\ln ex}}=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{dx}{x\ln x\left( 1+\ln x \right)}}\)

Đặt \(t=\ln x\Leftrightarrow dt=\frac{dx}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = e \Leftrightarrow t = 1\\x = {e^2} \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{{t\left( {t + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^2 = \left. {\ln \left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right|_1^2\\\,\,\, = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{4}{3} = \ln \frac{a}{b} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a - b = 1\end{array}\)

Chọn A.