Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t=\sqrt{x+1}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{x+1}\) ta có : \({{t}^{2}}=x+1\Leftrightarrow 2tdt=dx\) và \(x={{t}^{2}}-1\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = 1 \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\) , khi đó

\(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx}=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\frac{{{t}^{2}}-1}{t}2tdt}\Leftrightarrow 2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}\Leftrightarrow \left. 2\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-t \right) \right|_{1}^{\sqrt{2}}=2\left( \frac{2\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}+\frac{2}{3} \right)=\frac{-2\sqrt{2}+4}{3}\)

Chọn D.